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引言 为什么一个约等于 2.

71828 的数字，会被叫作“自然常数”？

第一次听到这个名字的人，多半都会疑惑：一个数学常数，凭什么和“自然”扯上关系？

本文从这个问题出发，先把 e 放回复利运算和连续变化的过程中，看它如何从“1 加 1/N 的 N 次方”一步步逼近，并最终从一个描述自我变化的微分方程中涌现出来。

由此，问题就不只是“e 从哪里来”，而是“什么才是自然”。

自然，本意是“自己的样子”：不受外界左右，由自身状态决定自身变化。

以这个标准回看物理世界，匀速直线运动是一种自然，核爆早期能量爆胀、放射性衰变、种群自然增长等过程，也都在不同尺度上呈现同一种微分方程结构。

钱老的《工程控制论》正是以这个微分方程为逻辑起点：先理解自然，再讨论如何控制自然。

于是，本文以微分方程为线索，从 e 的自然性出发，走向工程控制论中“自然—自由—控制”的底层逻辑。

e为什么自然？

e 在数学领域里是一个非常重要且传奇的数。

今天我们可能讲不到那些传奇的故事，但可以把这个数是从哪来的讲清楚。

最开始接触 e，应该是在高一上学期学习指数和对数的时候。

目前应该都还记得它有一个名字，叫自然常数。

但我也相信，第一次看到这个名字时，稍微思考一下，大家就会疑惑：为什么这个世界上有一个数字，会跟“自然”扯上联系？

。

所以今天先来解决这个小小的疑惑：它为什么自然。

一般在解释 e 这个数的时候，会引用经济学中的一个案例，叫做复利运算，也就是存款时的复利运算。

假设银行都有利率，比如用年利率来计算利息。

你存一块钱，假如年利率是 1.

5%，那么一年之后，你会得到一块一毛五。

这样不太好算。

那我们按100%算，存一块回报两块。

但银行的利率是可以拆分的。

比如还房贷时，往往用到的是月利率，而月利率的计算就是年利率除以 12。

这意味着利率其实可以拆分。

所以可以先做一个很简单的实验：把一块钱存进去，先存半年，这样用到的就是年利率的一半，也就是 50%。

把钱取出来之后，你拿到的不是两块，而是一块五。

不要着急，现在把这一块五再存进去，再过半年，因为利率是 50%，所以再过半年，你会得到的钱应该是一块五的平方，也就是二块二五。

我相信你应该发现了一件事：这样存钱好像比刚刚多了。

你和我应该都会有一个大胆的想法，所以应该把钱分的份数分得更多一点。

如果把一年分 4 次，会不会得到比二块二五更多的钱呢？

可以试一下。

先存 25%，一个季度，存完取出来应该是 1 块 25；

再存，应该是 1 块 25 的平方；

存 4 次，一年结束后取出来，拿到的钱应该是 1 块 25 的 4 次方。

它确实比刚刚多了。

那么，如果你是第一次看到这样的运算，一定会有一个想法：如果存的次数足够多，是不是能够获得无穷的财富呢？

这里可以回归到第一次运算。

其实 100% 的利率存一年，相当于一块钱乘以 1+1；

50% 的利率存两次，相当于一块钱乘以 1+0.

5 的平方，也就是 1+1/2 的平方；

一块钱存 4 次，相当于 1 乘以 1 加上 1/4 的 4 次方。

所以其实是在计算这样一个式子：1 乘以 1 加上 1/N 的 N 次方。

当 N 变大的时候，能够看到，虽然说这个数字在不断地变大，但是它变大的速度正在慢慢降低。

最终，经过数学家的研究，它会不断地趋近于一个数，这个数约等于 2.

71828。

这个数就是 e 的一个初始状态。

所以首先你大概知道，在自然界中，或者说在这个世界上，有这么一种东西，它可以通过复利运算得到。

然后，我大概知道 这个数约等于 2.

71828 了 。

但是我们还是没有解决问题：它哪里自然了呢？

随着拆分的次数越来越多，收益虽然还在涨，但是涨得越来越慢。

不管你拆成多少份，永远突破不了一个天花板，大概是2.

71828。

于是接下来进行第二个运算。

假设现在有一个培养皿，里面有一种微生物： 第一组微生物的变化是突变式的：一开始数量不变，直到一个小时结束的那一刻，突然变成原来的两倍。

也就是说，它在单位时间里的总增长是 100%，但这个增长不能分割，因为前 59 分钟它一点没变。

第二组微生物不一样：它也按每小时 100% 的总增长率增长，但它不是等到一小时结束才翻倍，而是每时每刻都在按当前数量增长。

换句话说，这个增长率可以分割：半小时它增长 50%，从 1 变成 1.

5；

再过半小时，它又在 1.

5 的基础上增长 50%，变成 2.

25。

仔细想一想，它好像跟刚刚算利息的时候一模一样。

如果你认为一个小时是 6 个 10 分钟，那么最终数量应该是 1 加上 1/6 的 6 次方倍；

如果你认为一个小时可以被分成 N 份，那最终结果就是 1 加上 1/N 的 N 次方倍。

而如果我们真的认为它是时时刻刻都在变化的，那时间应该可以被分成无限份，所以 N 应该趋近于无穷大，最终你会得到的结果是：一个小时之后， 这组微生物会变成原来

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